Tugas IAD pertemuan 3

          1.     Himpunan dan Bilangan

1.1.Pengertian dan Macam Himpunan.

Himpunan adalah konsep dasar dari semua cabang matematika. George Cantor dianggap sebagai bapak teori himpunan. Himpunan adalah sekumpulan objek yang mempunyai syarat tertentu dan jelas. Objek yang dimaksud dapat berupa bilangan, manusia, hewan, tumbuhan, Negara dan sebagainya.Objek ini selanjutnya dinamakan anggota atau elemen dari himpunan itu. Syarat tertentu dan jelas dalam menentukan anggota suatu himpunan ini sangat penting karena untuk membedakan mana yang menjadi anggota himpunan dan mana yang bukan merupakan anggota himpunan. Inilah yang kemudian dinamakan himpunan yang terdefinisi dengan baik (well-defined set).
Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang dapat didefinisikan dengan jelas. Benda atau objek dalam himpunan disebut elemen atau anggota himpunan. Dari definisi tersebut, dapat diketahui objek yang termasuk anggota himpunan atau bukan.

Macam-macam himpunan

1. Himpunan bilangan asli

A = { 1, 2, 3, 4, 5, ... }

2. Himpunan bilangan cacah

C = { 0, 1, 2, 3, 4, .... }

3. Himpunan bilangan prima

P = { 2, 3, 5, 7, 11, .... }

4. Himpunan bilangan genap

G = { 0, 2, 4, 6, 8, 10, .... }

5. Himpunan bilangan ganjil

G = { 1, 3, 5, 7, 9, .... }

6. Himpunan bilangan komposit (tersusun)

T = { 4, 6, 8, 9, 10, 12, .... }

7. Himpunan tak hingga

A = { 1, 3, 5, 7, ..... }, (n)A = ∞ (jumlah anggota himpunan A adalah tak terhingga)

8. Himpunan berhingga

B = { 1, 3, 5, 7 }, (n)A = 4 (jumlah anggota himpunan B adalah sebanyak 4)
9. Himpunan kosong
K = { himpunan bilangan prima antara 7 dan 9 }, K = { } (jumlah anggota himpunan K adalah tidak ada atau kosong)

10. Himpunan bagian

A = {2, 3, 5 } dan B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Semua anggota himpuna A adalah merupakan anggota himpunan B. Sehingga dapat dikatakan bahwa; A bagian dari B, ditulis A c B atau B memuat A ditulis B ﬤ A

11. Himpunan semesta

Bila A = { 2, 4, 6, 8, 10 }, maka beberpa himpunan semesta pembicaraan yang mungkin untuk A adalah;
S = { bilangan asli }
S = { bilangan cacah }
S = { bilangan kelipatan 2 }

1.2.Diagram Venn

Diagram venn merupakan sebuah metode dalam merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut secara grafis.

Pertama kali diperkenalkan pada 1880 oleh John Venn (1834-1923), dalam tulisannya yang berjudul On the Diagrammatic and Mechanical Representation of Propositions and Reasonings yaang diterbitkan pada Philosophical Magazine and Journal of Science S. 5. Vol.9. No. 59. Juli 1880.

Menurut Grünbaum definisi  konsep  yang  lebih umum, adalah sebuah keluarga independen. MIsalkan C = (C1, C2, ..., Cn) adalah   sebuah kumpulan kurva tertutup sederhana digambarkan dalam bidang. Kumpulan C dikatakan independen jika daerah dibentuk oleh persimpangan X1, X2, ..., X tidaklah kosong, di mana setiap Xi adalah int(Ci) (interior Ci) atau ext (Ci ) (bagian luar Ci).

Misalkan, sebagai tambahan, masing-masing daerah tersebut tersambung dan hanya ada  sejumlah terhingga banyak titik persimpangan antara kurva, maka C adalah diagram  Venn,  atau  sebuah  n-diagram  Venn  jika  kita ingin menekankan jumlah kurva dalam diagram. Kondisi bahwa hanya ada  sejumlah terbatas titik persimpangan biasanya diasumsikan dalam literatur, tetapi sering tidak dinyatakan secara eksplisit.

Karena setiap daerah baik di dalam atau di luar kurva tertentu, dan terdapat n kurva, harus ada 2n  persis daerah di diagram Venn (termasuk bagian luar, daerah kosong, yang berada di luar dari semua kurva).

Di bawah berikut ditunjukkan diagram venn yang paling dikenal dari semua diagram Venn.

Diagram Venn sederhana adalah diagram yang tidak ada lebih dari dua kurva yang berpotongan pada titik yang sama.

Diagram sederhana dalam beberapa pengertian adalah "paling bagus" karena mereka adalah yang paling mudah untuk representasi dan dimengerti.

1.3. Operasi antar Himpunan

1.    OPERASI DASAR

Operasi dasar himpunan ada 3 yaitu:

a.    Operasi gabungan

Gabungan dua himpunan A dan B adalah himpunan semua elemen yang menjadi anggota A atau anggota himpunan B saja atau anggota dari  himpunan A dan himpunan B.

b.    Operasi irisan

Irisan dua himpunan A dan B adalah himpuanan semua anggota yang menjadi anggota A dan sekaligus anggota B.

c.     Operasi komplemen

Komplemen dari suatu himpunan A adalah sebuah himpunan yang terdiri dari anggota-anggota yang bukan merupakan anggota himpunan A tetapi masih merupakan anggota semesta yang dibicarakan.

2.    OPERASI LANJUTAN

a.    Selisih dua himpunan

Selisih antara dua himpunan A dan B dinotasikan dengan  merupakan himpunan dengan anggota yang terdiri dari anggota-anggota himpunan A namun tidak merupakan anggota himpunan B.

b.    Beda simetris dua himpunan

Beda simetris dua himpunan A dan B dinotasikan dengan .  Beda simetris dua himpunan adalah selisih antara gabungan dua himpunan dengan irisan dua himpunan tersebut.

3.    RELASI ANTAR HIMPUNAN

a.    Himpunan bagian

Himpunan A dikatakan merupakan subset (himpunan bagian) dari himpunan B jika setiap anggota himpunan A merupakan anggota himpunan B.

Himpunan A dikatakan bukan merupakan subset dari himpunan B jika ada setidak-tidaknya satu anggota A yang bukan merupakan anggota B.

Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika kedua himpunan tersebut memiliki anggota yang sama.

1.4. Bilangan Bulat dan Rill

 Bilangan bulat adalah himpunan bilangan bulat negatif, bilangan nol dan bilangan bulat positif.
Contoh: B = { ...., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ..... }

Sementara itu bilangan rill adalah bilangan yang merupakan gabungan dari bilangan rasional dan bilangan irrasional itu sendiri.
Contoh: R = { 0, 1, ¼, ⅔, √2, √5, ..... }

Sumber :

Firrar Utdirartatmo, Teori Bahasa dan Otomata, Graha Ilmu, Yogyakarta, Edisi 2, 2005.

SIAPUJA MATEMATIKA SMP/MTs Jilid 1 Kurikulum 2013

Branko Grünbaum, Venn diagrams and Independent Families of Sets, Mathematics Magazine, 48 (Jan-Feb 1975) 12-23

P. Hamburger and R. E. Pippert, Venn said it couldn't be done, Mathematics Magazine, Vol. 73 No. 2 (April 2000) 105-110 .

http://www.berpendidikan.com/2015/05/pengertian-bilangan-dan-macam-macam-bilangan-beserta-contohnya.html

https://www.academia.edu/30133931/OPERASI_ANTAR_HIMPUNAN?auto=download

           2.      Relasi

2.1    Definisi Fungsi

Jika suatu relasi dikatakan sebuah fungsi jika memenuhi dua syarat yakni yang pertama adalah setiap anggota A memiliki pasangan di anggota B. Namun apabila salah satu dari anggota A tidak memiliki pasangan terhadap anggota B, maka bisa dikatakan relasi tersebut bukan termasuk fungsi. Dan syarat yang kedua adalah setiap anggota A dipasangkan tepat satu-satu terhadap anggota B. Dengan kata lain anggota A tidak boleh memiliki pasangan anggota B lebih dari satu. Namun untuk syarat yang kedua ini tidak berlaku untuk pasangan sebaliknya dalam artian jika syarat yang pertama telah terpenuhi, maka anggota B boleh memiliki lebih dari satu pasangan dari anggota A.

2.2    Domain, Kodomain, Range

Dalam suatu relasi antarhimpunan, ada yang disebut dengan domain, kodomain dan juga range.  Perhatikan penjelasan berikut ini.

-          Domain adalah daerah asal suatu relasi,

-          Kodomain adalah daerah kawan suatu relasi,

-          Range adalah daerah hasil suatu relasi.

Sumber :

http://bangkusekolah.com/2015/09/20/definisi-fungsi-pemetaan/

3.   Proposisi

3.1.  Konsep dan notasi dasar

Kalkulus proposisi, pada hakekatnya adalah suatu metode dalam komputasi menggunakanproposisi atau menggunakankalimat. Di sini, kalimat yang dimaksud merupakan kalimat deklaratif. Pada kalimat deklaratif tersebut dapat kita berikan nilai kebenarannya (truth value) yaitu salah satu dari "true" atau ','false". Kalimat seperti itu biasa disebut sebuah statemen. Sebuah contoh statemen, dapat kita ambil kalimat "Kucing adalah binatang berkaki empat", atau "Matahari terbit di sebelah timur" dan lain sebagainya.

Pada kalkulus proposisi ini, kita juga menekankanpembahasanpada bagaimana cara mengkombinasikan statemen, sehingga terbentuk statemen lain yang lebih kompleks. Pengkombinasian statemen akan menghasilkan statemen majemuk (compound statement). Nilai kebenaran dari suatu statemen majemuk tergantung pada nilai kebenaran statemen yang dikombinasikan serta tergantung pula pada operasi pengkombinasian mereka.

Masalah pertamayang kita hadapiadalahbagaimanamendefinisikanpenghubung secara logik antara dua statemenyang dapat kita gunakanuntuk membentukstatemen yang lebih kompleks. Misalkan p serta q berturut-turutstatemen sederhana berbunyi "rumput hijau", dan "hari hujan", kita ingin mempunyai simbol untuk menyatakan statemen seperti "p tidak benar", atau "jika p maka q", "p dan q" dan sebagainya. Dalam hal ini kita menginginkanpula untuk dapat memberikannilai kebenaran bagi kombinasi dari p da q tersebut. Tentunya pemberian nilai kebenaran tersebut adalah dengan cara yang konsisten sesuai dengan penggunaan yang biasa dilakukan. Suatu ekspresi yang mengandung. variabel berupa statemen, dengan operasi logik yang segera kita definisikan, disebut suatu proposisi.

Sekarang baiklah kita mulai dengan "p tidak benar", yang dapat dinyatakan dengan simbol p. Bila p true maka p adalah false, sebaliknya bila p false maka p  adalah true. 

Kalimat lain yang nilai kebenarannya  secara jelas kita rasakan dari penggunaan sehari-hari  adalah "p dan q". Ia bemilai true bila kedua variabel p dan q sama-sama

true. 

Kalimat  "p or q" sedikit agak membingungkan  karena  dapat mempunyai  dua arti (ambiguous).  Yang  pertama  dapat  berarti  or inklusif  yaitu  "p true atau q true atau keduanya  true",  sedangkan  yang kedua  adalah or eksklusif  yaitu "p true atau q true tetapi  tidak  keduanya".

Dalam  mengembangkan   suatu sistem secara formal,  adanya arti ganda  serupa itu harus dihindari atau dihilangkan.  Untuk itu kita definisikan  disjungsi,  pada Tabel 3 untuk kasus or inklusif dan nonekivalen,  karena untuk nilai kebenaran

adalah  true bila p dan q mempunyai  nilai kebenaran  yang  berbeda  dan  false bila mempunyai  nilai  kebenaran  yang  sama. 

Pendefinisian keempat operator logik tersebut, mengingatkankita pada operasi dalam aljabar Boole. Kita catat bahwa terdapat operasi komplementasi multiplikasi

serta dua operasi addisi/penjumlahan. Mereka bersesuaian berturut-turut dengan operasi negasi, disjungsi dan nonekivalen pada proposisi.

3.2.  Proposisi dan tabel kebenaran

Definisi  proposisi  P (p, q, ...    ), Q (p, q, ...    ), ...    atau umyatakan ut..,u P, Q,  .    .    .    ,    saja  adalah  sebuah  polinomial  Boole  dalam  variabel  p, q, .   .   .

Nilai  kebenaran  sebuah  proposisi  P (p, q, ...    )  yang dihitung  pada  sebarang pernyataan  adalah sebuah fungsi dari nilai kebenaran pemyataan-pernyataan   itu saja, dan bukan merupakan  fungsi dari pemyataan  khusus itu sendiri. Maka kita berbicara mengenai  "nilai kebenaran"  dari setiap variabel p, q, ...   ,  dan "nilai kebenaran"  dari proposisi  P (p, q, ...    ).

Sebuah cara sederhana untuk memperlihatkan hubungan di antara nilai kebenaran sebuah  proposisi  P (p, q,  .   .   .   )  dan  nilai kebenaran  variabelnya  p, q,  .    .    .   adalah melalui sebuah tabel kebenaran  . 

3.3.  Tautologi dan kontradiksi

Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya. Sebuah Tautologi yang memuat pernyataan Implikasi disebut Implikasi Logis. Untuk membuktikan apakah suatu pernyataan Tautologi, maka ada dua cara yang digunakan. Cara pertama dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai B (benar) maka disebut Tautologi, dan cara kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum Ekuivalensi Logika.[1]

Contoh:

Lihat pada argumen berikut:

Jika Tono pergi kuliah, maka Tini juga pergi kuliah. Jika Siska tidur, maka Tini pergi kuliah. Dengan demikian, jika Tono pergi kuliah atau Siska tidur, maka Tini pergi kulah.

Diubah ke variabel proposional:

A  Tono pergi kuliah

B  Tini pergi kuliah

C  Siska tidur

Diubah lagi menjadi ekspresi logika yang terdiri dari premis-premis dan kesimpilan. Ekspresi logika 1 dan 2 adalah premis-premis, sedangkan ekspresi logika 3 adalah kesimpulan.

(1)   A → B                                    (Premis)

(2)   C → B                         (premis)

   (3) (A V C) → B              (kesimpulan)

Maka sekarang dapat ditulis: ((A → B) ʌ (C → B)) → ((A V C) → B        

A	B	C	A → B	C → B	(A → B) ʌ (C → B)	A V C	(A V C) → B
B B B B S S S S	B B S S B B S S	B S B S B S B S	B B S S B B B B	B B S B B B S B	B B S S B B S B	B B B B B S B S	B B S S B B S B	B B B B B B BB

Dari tabel kebenaran diatas menunjukkan bahwa pernyataan majemuk :

 ((A → B) ʌ (C → B)) → ((A V C) → B adalah semua benar (Tautologi)

Contoh tautologi dengan menggunakan tabel kebenaran:

1.      (p ʌ  ~q)  p

Pembahasan:

p	q	~q	(p ʌ ~q)	(p ʌ ~q)  p
B B S S	B S B S	S B S B	S B S S	B B B B

Ini adalah tabel kebenaran yang menunjukkan Tautologi dengan alasan yaitu semua pernyataannya bersifat benar atau True (T). maka dengan perkataan lain pernyataan majemuk (p ʌ ~q)  p selalu benar.

2.      [(p  q) ʌ p] p  q

Pembahasan:

P	q	(p  q)	(p  q) ʌ p	[(p  q) ʌ p] p  q
B B S S	B S B S	B S B B	B S S S	B B B B

     (1)                (2)                    (3)                        (4)                                   (5)

Berdasrkan tabel diatas pada kolom 5, nilai kebenaran pernyataan majemuk itu adalah BBBB. Dengan perkataan lain, pernyataan majemuk           [(p  q) ʌ p] p  q selalu benar

Kontradiksi adalah kebalikan dari tautologi yaitu suatu bentuk pernyataan yang hanya mempunyai contoh substansi yang salah, atau sebuah pernyataan majemuk yang salah dalam segala hal tanpa memandang nilai kebenaran dari komponen-komponennya. Untuk membuktikan apakah suatu pernyataan tersebut kontradiksi, maka ada dua cara yang digunakan. Cara pertama dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai F  atau salah maka disebut kontradiksi, dan cara kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum Ekuivalensi Logika.

Contoh dari Kontradiksi:

1.      (A ʌ ~A)

Pembahasan:

A	~A	(A ʌ ~A)
B S	S B	S S

Dari tabel kebenaran diatas dapatlah disimpulkan bahwa pernyataan majemuk (A ʌ ~A) selalu salah.

2.      P ʌ (~p ʌ q)

Pembahasan:

P	q	~p	(~p ʌ q)	P ʌ (~p ʌ q)
B B S S	B S B S	S S B B	S S B S	S S S S

Ini adalah tabel kebenaran yang menunjukkan kontradiksi dengan alasan yaitu semua pernyataan bernilai salah (F).

3.4.  Ekivalen logika

Dua atau lebih pernyataan majemuk yang mempunyai nilai kebenaran sama disebut ekuivalensi logika dengan notasi “  dua buah pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen, jika kedua pernyataan majemuk itu mempunyai nilai kebenaran yang sama untuk semua kemungkinan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan komponen-komponennya.

Hukum-Hukum Ekuivalensi Logika:

1.      Hukum komutatif:

p ʌ q  q ʌ p

p v q q v p

2.      Hukum asosiatif:

(p ʌ q) ʌ r  p ʌ (q ʌ r)

(p v q) v r  p v (q v r)

3.      Hukum distributif:

p ʌ (q v r)  (p ʌ q) v (p ʌ r)

p v (q ʌ r)  (p v q) ʌ (p v r)

4.      Hukum identitas:

p ʌ T  p

p v F  p

5.      Hukum ikatan (dominasi):

P v T  T

P v F  F

6.      Hukum negasi:

P v ~p  T

P ʌ ~p  F

7.      Hukum negasi ganda (involusi):

~(~p)  p

8.      Hukum idempoten:

P ʌ p  p

p v p  p

9.      Hukum de morgan:

~( p ʌ q)  ~p v ~q

~(p v q)  ~p ʌ ~q

10.   Hukum penyerapan (absorpsi):

p v (P ʌ q)  p

P ʌ (p v q)  p

11.  Hukum T dan F:

~T  F

~F  T

12.  Hukum implikasi ke and/or:

P  q  ~p v q

Dengan adanya hukum-hukum diatas, penyelesaian soal-soal baik yang bersifat tautologi, kontradiksi dan ekuivalensi logika tidak hanya menggunakan tabel kebenaran namun juga bisa dengan menggunakan jalan penurunan yaitu dengan memanfaatkan 12 (dua belas) hukum-hukum ekuivalensi logika tersebut. 

Munir, Rinaldi. 2005. Matematika Diskrit. Bandung: Informatika.

Wirodikromo, Sartono. 2007. Matematika. Jakarta: Erlangga.

Limbong, A dan A. Prijono. 2006. Matematika Diskrit. Bandung: CV Utomo.

Soesianto, F dan Djoni Dwijono.2003. Logika Proposisional. Yogyakarta: Andi.

Upschutz, Seymour dan Marc Lars Lipson. 2008. Matematika Diskrit. Jakarta: Erlangga.

3.5.  Aljabar Proposisi

Aljabar proposisi merupakan penerapan hukum-hukum aljabar dalam logika proposisi.

Ada beberapa teori aljabar yang dapat digunakan dalam logika proposisi seperti idempoten, asosiatif, absorbsi, komutatif, distributif, identitas, komplemen, involution, De Morgan, implikasi, biimplikasi dan kontraposisi. Berikut ini merupakan penjelasan dari hukum - hukum yang disebutkan di atas:

Idempoten

·           P ^ P = P

·           P v P = P

Asosiasi

·           ( A v B ) v C = A v ( B v C )

·           ( A ^ B ) ^ C = A ^ ( B ^ C )

Komutatif

·           A v B = B v A

·           A ^ B = B ^ A

Distributif

·           A v ( B ^ C ) = ( A v B )  ^ ( A v C )

·           A ^ ( B v C ) = ( A ^ B ) v ( A ^ C )

Identitas

·           A v T  = T        T ( True ) = 1

·           A ^ T = A

·           A V F = A        F (False) = 0

·           A ^ F = F

Komplemen

·           A v ~A = T                  ~ T = F

·           A ^ ~ A = F                 ~ F = T

Involution

·           ~ A (~A) = A

De Morgan

·           ~ (A ^ B ) = ~A v ~ B

·           ~ (A v B ) = ~A ^ ~ B

Absorbsi

·           A v ( A ^ B ) = A

·           A ^ ( A v B ) = A

Implikasi

·           A --> B = ~A v B

Biimplikasi

·           A <--> B = ( A --> B ) ^ ( B --> A )

Kontraposisi

·           A --> B = ~ B --> ~ A

3.6.  Implikasi logik

Proposisi  P (p, q,  ...    )  dikatakan  logically  imply  proposisi  Q (p, q),  ...    ), dituliskan

p (p, q, .  . .    .   ) => Q (p, q, .   .   .   )

jika  Q (p, q,  ...    ) benar  untuk  P (p, q,  ...    ) yang  benar.

Contoh :

p logically  imply  p v q. Perhatikan  tabel kebenaran  dan q berikut.  Perhatikan bahwa  p benar pada baris ke 1  dan, dan dalam baris ini p v q juga  benar.  Dengan perkataan  lain, p logically  imply  p v q.

P	q	p v q
T	T	T
T	F	T
F	T	T
F	F	F

Jika  Q (p, q,  ...    ) benar  untuk  P (p, q,  ...     )  benar,  maka  argumen

   p (p, q, ...    ) I-       Q (p, q, ...             )

valid, begitu juga  sebaliknya. Selanjutnya,  argumen P|--   Q valid jika dan hanya jika  staternen  P ->   Q tautologi.

Teorema:

Untuk setiap proposisi P (p, q, ...   ) dan Q (p, q,  ...   ), ketiga  rtatemen berikut adalah  ekivalen  :

i)     P (p, q,  ...    )  logically  imply  Q (p, q, ...    )

ii)    Argumen  P (p, q,  .     .     .    ) I--      Q (p, q,  .    .    .    )  valid

iii)   Proposisi   P (p, q, ...    ) ~   Q (p,  q, ...             ) tautologi

3.7.  Fungsi proposisi dan himpunan kebenaran

Misalkan sebuah himpunan A diberikan secara eksplisit ataupun implisit. Sebuah fungsi  proposisi  (proportional  function)  atau,  sebuah  kalimat  terbuka  (open  sen- tence)  (atau  kondisi)  pada A adalah  sebuah  pemyataan  yang ditulis  sebagai

(px)

serta mempunyai  sifat bahwa p(a) benar atau salah untuk setiap a  A. Dengan kata lain, p(x) adalah sebuah fungsi proposisi pada A jika p(x) menjadi sebuah pernyataan bila  sebarang  elemen  a       A disubstitusikan  untuk  variabel  x.

Contoh 1

Misalkan  p(x) adalah "x + 2 > 7". Maka p(x) adalah sebuah fungsi  proposisi pada N, yakni himpunan  bilangan  asli.

Contoh 2

Misalkan  p(x) adalah  "x + 2 > 7". Maka  p(x) bukan  sebuah fungsi  proposisi pada  C, himpunan  bilangan  kompleks,  karena  ketidaksamaan  tidak  didefinisikan untuk  semua bilangan  kompleks.